9.10 Funciones definidas a trozos
Las llamadas funciones a trozos son aquellas cuyo dominio está dividido en intervalos y, para cada uno de ellos, existe una expresión algebraica. Para representar estas funciones hay que considerar la expresión que corresponde y en qué intervalo está definida. Es importante prestar especial atención a los puntos extremos de cada intervalo.
Función parte entera
La función parte entera, denominada 
,
es aquella en la que a cada número real le hace corresponder el entero inmediatamente inferior o igual a él.
Esta función también es conocida como función piso. Por ejemplo, si x = 2.5 su parte entera será 2.
Cuando la función parte entera le hace corresponder a cada número real el entero inmediatamente superior o igual a él, se le denomina función techo. En el caso de que x = 2.5, su resultado será 3.
La función piso o techo originan una gráfica escalonada.
Función parte entera techo
Función parte entera piso
Función valor absoluto
Recordamos que el valor absoluto de un número x, representado por 
siempre es positivo.
El resultado coincide con x en el caso de ser positivo o su opuesto si es negativo.
La función valor absoluto es una función a trozos y la definimos de la siguiente manera:
En general el valor absoluto de una función se define:
Para representar gráficamente la función valor absoluto, la transformamos en una función a trozos de la siguiente manera:
- Calculamos las raíces de la función.
- Formamos intervalos con las raíces y evaluamos el signo en cada intervalo.
- Definimos la función a trozos teniendo en cuenta la definición de valor absoluto: f(x) en los intervalos donde la función es positiva y - f(x) en aquellos donde sea negativo.
Ejemplo 1
Representar gráficamente la siguiente función:
- El primer trozo
es una línea recta creciente, ya que su pendiente es positiva.
Existe para el intervalo 
, incluyendo el -1. Para dibujar una línea sólo necesitamos calcular dos puntos. - El segundo trozo
es una parábola convexa y sólo existe en el intervalo
sin incluir los extremos. - Finalmente
es una función constante para el intervalo
, incluyendo el 2. - El dominio de la función es
- El recorrido es:
Ejemplo 2
Representar gráficamente la siguiente función:
- La función
es una línea recta. Como su pendiente m = -2
es negativa, la recta es decreciente. Existe para el intervalo 
. 
es una parábola cóncava y sólo existe en el intervalo
sin incluir los extremos.- Finalmente,
es una función logarítmica creciente que pasa por el punto
. Existe en el intervalo
incluido el 0. - El dominio de la función es
- El recorrido es:
Ejemplo 3
Representar gráficamente la siguiente función:
- Las raíces de la función
son: x = -2 y x = 3 - Formamos así tres intervalos
y
estudiamos sus signos:
- La función por tramos queda de la siguiente manera:
- Finalmente, representado gráficamente cada trozo de la parábola, tenemos:
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